Κόβουμε το κοτόπουλο στα 4 και το βράζουμε για περίπου 30 λεπτά. Μόλις ετοιμαστεί το αφήνουμε να κρυώσει και το ξεψαχνίζουμε. Απλώνουμε το κοτόπουλο στην επιφάνεια εργασίας, ρίχνουμε από επάνω αλάτι, πιπέρι, ελαιόλαδο και το σκόρδο πολτοποιημένο. Ανακατεύουμε πολύ καλά.

Σε μια κατσαρόλα βράζουμε τις χυλοπίτες σε αλατισμένο νερό για περίπου 7-8 λεπτά. Σουρώνουμε και κρατάμε στην άκρη λίγα από τα υγρά. Στην ίδια κατσαρόλα προσθέτουμε το κοτόπουλο, τις χυλοπίτες, το βούτυρο, το μαϊντανό και ανακατεύουμε εκτός φωτιάς.

Σε ένα τηγάνι με μπόλικο λάδι προσθέτουμε το κρεμμύδι και το τηγανίζουμε σε μέτρια φωτιά για περίπου 12 λεπτά. Αφού πάρει χρυσαφί χρώμα αφαιρούμε και το βάζουμε σε απορροφητικό χαρτί.

Σερβίρουμε τις χυλοπίτες με το κοτόπουλο, τρίβουμε τη μυζήθρα και βάζουμε το καβουρδισμένο κρεμμύδι περιμετρικά.